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回帰直線(傾き)の漸化式・・・

時系列データ(つまり、株価 など)で、
回帰直線(線形回帰トレンド)を計算する際に、
その”傾き”のみ(トレンドの方向のみで、直線の位置[切片の情報]が不要)であれば、
数学で言う処の”X軸の平行移動”をしても、”傾き”に変化は無い、その性質を利用して、
計算式を簡素化した漸化式を実現できる。

 傾きa = Sxy ÷ Sxx
     = (xy偏差の積和) ÷ (xの偏差平方和)

Sxx は、X軸の平行移動させることから、
常に”定数”(つまり、算出期間1~Nのみ)となり、
Sxy を漸化式にて、時系列の全体を計算させれば良い事になる。

 Sxy = Σxy - { (Σx)(Σy)/N } = Σ(x-x”)(y-y”)  : x”、y”は平均値

であるが、Σxy の漸化式を以下に示す。(Σy の漸化式は、ここでは省略する。)

例えば、期間5(x=1,2,3,4,5)で計算すると、
 Σxy(t)  =        y(t-4) + 2*y(y-3) + 3*y(t-2) + 4*y(t-1) + 5*y(t)
 Σxy(t-1) = y(t-5) + 2*y(y-4) + 3*y(t-3) + 4*y(t-2) + 5*y(t-1)
したがって、
 Σxy(t) - Σxy(t-1) = 5*y(t) - Σy(t-1)
ゆえに、漸化式の一般形は、
 Σxy(t) = Σxy(t-1) + N*y(t) - Σy(t-1)
となる。

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